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混沌与分形的关系

2012-05-09 来源:www.ecofine.cn 浏览次数:0 网友评论 0

“分形”与“混沌”这两个从不同角度发展起来的理论走向的汇合点就是“自相似

成名之作《Chaos:Making a New Science》(《混沌:开创新科学》),对混沌与分形的发展作了全面的介绍与评述,书中附有一部分彩色插图,其中大多数是分形图,可见二者之间的密切关系。

曼德勃罗特研究发现,分形经常显示出无规则的表征,但是这决不意味着其绝对无规则,分形具有自相似的特征,即取分形图形的任一部分进行适当放大,便仍可得到与原来整个图形相似的图形。

所谓混沌,英文原文为Chaos,无论是中文还是英文,其本意都是混沌无序的意思,但是其描述的对象却具有无穷自相似结构,也是具有无规则的表征而实际上具有无穷自相似的嵌套结构。这样,分形和混沌的研究便走向了汇合,我们可以看到这样一个事实,在题为混沌的书中有分形的章节,而在题为分形的书中又有混沌的章节。分形与混沌这两个从不同角度发展起来的理论走向的汇合点就是自相似。

非线性科学研究似乎总是把人们对正常事物、正常现象的认识转向对反常事物、反常现象的探索。孤波不是周期性振荡的规则传播:多媒体技术对信息存储、压缩、船舶、转换和控制过程中遇到大量的非常规现象产生所采用的非常规的新方法;混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的常规出现所谓各种奇异吸引子现象等。

混沌来自于非线性动力系统,而动力系统描述任意随时间发展变化的过程。这样的系统产生于生活的各个方面。动力系统的研究目的是预测过程的最终发展结果。这就是说:如果完全知道在时间序列中一个过程的过去历史,能否预测它未来怎样?尤其能否预测该系统的长期或渐进的特性?然而,即使是仅有一个变量的最简单的动力系统也会具有难以预测的基本上是随机的特性。动力系统中的一点或一个数的连续迭代产生的序列称为轨道。如果初始条件的微小改变使其相应的轨道在一定的迭代次数之内也只有微小改变,则动力系统是稳定的,此时,任意接近于给定初值的轨道可能与原轨道相差甚远,是不可预测的。因此,弄清给定动力系统中轨道不稳定的点的集合是极其重要的。所有其轨道不稳定的点构成的集合是这个动力系统的混沌集合,并且动力系统中参数的微小改变可以引起混沌集合结构的急剧变化。这种研究是极其复杂的,但是引入了计算机就可以形象地看到这种混沌集合的结构,看清它是一个简单集合还是一个复杂集合,以及随着动力系统本身的变化它是如何变化的。分形正是从此处进入混沌动力系统研究的。

混沌学研究的是无序的有序,许多现象即使遵循严格的确定性规则,但大体上仍是无法预测的,比如大气中的湍流,人的心脏的跳动等等。混沌事件在不同的时间标度下表现出相似的变化模式,这与分形在空间标度下表现的相似性十分相像。混沌主要讨论非线性动力系统的不稳定的发散的过程,但系统在相空间总是收敛于一定的吸引子,这与分形的生成过程十分相像。混沌主要讨论在于研究过程的行为特征,则分形更注重于吸引子本身结构的研究。同时混沌学与分形很大程度上依赖于计算机的进步,这对纯数学的传统观念提出了挑战,计算机技术不仅使这两个领域中的一些最新发现成为可能,同时因其图形直观的表现形式也极大地激发了科学家与公众的兴趣与认识,起到了推广作用。

分形与混沌的一致性并非偶然,在混沌集合的计算机图像中,常常是轨道不稳定的点集形成了分形。所以这些分形由一个确切的规则(对应一个动力系统)给出:它们是一个动力系统的混沌集,是各种各样的奇异吸引子。因此,分形图像的美丽就是混沌集合的美丽,对分形图像的研究就是对混沌动力学研究的一部分。


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