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弱混沌

2012-05-09 来源:www.ecofine.cn 浏览次数:0 网友评论 0

在一个系统中,时间和空间上有序与确定性无规共生、稳定动力学与混沌动力学并存。这是非线性系统中最惊人的特征。由于这一特征的启示,人们才得以揭示混沌的发生和弱混沌的出现。

二十世纪七十年代,非线性动力学的一个重要发现是不可积哈密顿系统的相空间中,包含着运动以混合方式出现的区域,即在一个系统中,时间和空间上有序与确定性无规共生、稳定动力学与混沌动力学并存。这是非线性系统中最惊人的特征。由于这一特征的启示,人们才得以揭示混沌(onset of chaos)的发生和弱混沌(weak chaos)的出现。

本文的研究对象是弱混沌图形的可视化问题,所以对其形成的物理问题不作过多研究,仅介绍相关概念。

(1)哈密顿运动方程

在经典物理学中,依据研究对象的各异而有不同的运动方程。为了寻求对不同现象的统一描述,于是在力学的历史发展中先后发展出拉格朗日(Lagrangian)和哈密顿(Hamiltonian)形式体系。在相对论发展时期,主要是采用拉格朗日形式体系,其中最突出的是在场论和连续体理论中的应用。近年来混沌的发现将哈密顿动力学(Hamiltonian dynamics)的应用提到日程上来,其中关于相体积守恒和系统可积性的刘维定理(Liouville’s theorems)奠定了确定论动力学研究的基础。Poincare所发展的哈密顿方法对于稳定性理论的建立具有极重要的意义。随后的研究进一步表明哈密顿系统(即可用哈密顿运动方程描述的系统)与非哈密顿(non-Hamiltonian)系统在物理学上具有根本的区别。

哈密顿动力学主要适用于保守系统。众所周知,任何宏观的耗散系统,微观上均属保守系统。耗散性(或宏观不可逆性)可以视为保守系统中大量自由度相互作用的结果。虽然发生混沌的真实系统多属耗散系统,但保守系统中内在随机性的存在问题具有更基本的物理意义。最近年来,对于哈密顿系统的内在随机性和一般系统的动力学混沌的研究方兴未艾。哈密顿系统动力学可以看作非线性力学、非线性物理学、甚至整个非线性科学的理论基础。

(2)KAM定理(Kolmogorov-Arnold-Moser Theorem)

混沌是不可积系统的特征性质,它是非线性系统内禀的固有属性。非线性共振(nonlinear resonance)是动力学系统的一种基本性质,它表征系统对外界扰动的响应,因而有助于理解非线性在系统的动力学行为中所起的重要作用。

非线性共振的研究指出,由于非线性的重要作用,即使极小的扰动也可使系统产生相当大的变化,导致系统性质的显著改变。然而由于振荡的频率依赖于振幅,因而共振不可能使系统的能量(或作用)无限增长。因而上述变化不能保证系统的有限动力学(finite dynamics)延续无限长的时间。关于系统的永久稳定性问题由KAM定理首次给予回答。

KAM定理:若未扰动哈密顿系统是非退化的(non-degenerate),则对于一个充分小的守恒扰动(conservation perturbation),大多数非共振不变环面不会消失,只是发生轻微的畸变,致在受扰系统(perturbed system)的相空间内仍将存在不变环面,并且相曲线稠密地充满各处,有条件地、周期性地围绕不变环面,其频率数等于自由度数。这些不变环面在数量上占大多数,而与之相伴和互补的受扰部分则仅占甚小的份额。

KAM定理论证了哈密顿系统受到微小扰动后不变环面守恒的条件,并且又指出被破坏环面的测度很小,包含被破坏环面的小区域被夹持在不变环面之间。它一方面确证了可积非退化保守系统受到微扰后运动是稳定的,过程是确定论的;另一方面它又断言,确定论的动力系统可以导致混沌的随机运动。


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